Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона»
— М. называется вообще наибольшая величина из рассматриваемых величин. В математическом анализе этим словом обозначается то значение функции, начиная от которого она как при увеличении независимых переменных, так и при их уменьшении убывает. Максимальное значение функции более всех соседних ее значений, но оно может быть менее других ее максимальных значений; наибольшее из всех максимальных значений называется М.-максиморум (maximum maximorum). Рассмотрим функцию одного переменного <span class="italic">x.</span> Из определения математического максимума следует, что если с увеличением <span class="italic">x</span> функция сначала увеличивается, а затем начинает убывать, то она имеет М. именно в том месте (при том значении переменного <span class="italic">x</span>), в котором прибывание ее переходит в убывание.Известно, что первая производная функции <span class="italic">положительна,</span> если функция прибывает с увеличением переменного, и <span class="italic">отрицательна,</span> если функция с увеличением переменного убывает. От положительного значения к отрицательному производная должна перейти через нуль. Следовательно, при том значении переменного, которому соответствует М. функции, производная ее должна быть равна нулю. Это дает возможность определять те значения <span class="italic">x</span>, при которых функция достигает М.; вставив же это значение <span class="italic">x</span> в функцию, получим величину максимального значения функции. Необходимо, однако, заметить, что если при увеличении переменного функция сначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться, то производная, переходя от отрицательного к положительному значению, тоже должна перейти через нуль, между тем как при этом функция достигает не максимального, а <span class="italic">минимального</span> значения (наименьшего сравнительно с соседними). Поэтому надо установить критериум для отличия М. от минимума. Но не трудно видеть, что, переходя от положительного значения к отрицательному, что соответствует М., производная уменьшается и, следовательно, производная производной, т. е. вторая производная, отрицательна; при переходе же от отрицательного к положительному значению, что соответствует минимуму, вторая производная вследствие возрастания первой производной положительна. Итак, если требуется найти М. функции <span class="italic">f(x),</span><span class="bold"> </span> то определяют соответствующие значения <span class="italic">x</span> из уравнения <span class="italic">f'(x) </span> = 0. Вставляя эти значения в <span class="italic">f(x),</span> получим ее М., если <span class="italic">f"(x) </span> < 0 и минимумы, если <span class="italic"> f"(x) </span> > 0. Подобного же рода рассуждениями руководствуются и при нахождении М. и минимумов функций многих переменных. Весьма многие задачи приводятся к нахождению М. и минимумов (см. Минимум). <span class="italic"><br><p>Н. Делоне. </p></span> <span class="italic"> </span><br>... смотреть
Максимум (математич.) — М. называется вообще наибольшая величина из рассматриваемых величин. В математическом анализе этим словом обозначается то значение функции, начиная от которого она как при увеличении независимых переменных, так и при их уменьшении убывает. Максимальное значение функции более всех соседних ее значений, но оно может быть менее других ее максимальных значений; наибольшее из всех максимальных значений называется М.-максиморум (maximum maximorum). Рассмотрим функцию одного переменного <i>x.</i> Из определения математического максимума следует, что если с увеличением <i>x</i> функция сначала увеличивается, а затем начинает убывать, то она имеет М. именно в том месте (при том значении переменного <i>x</i>), в котором прибывание ее переходит в убывание. Известно, что первая производная функции <i>положительна,</i> если функция прибывает с увеличением переменного, и <i>отрицательна,</i> если функция с увеличением переменного убывает. От положительного значения к отрицательному производная должна перейти через нуль. Следовательно, при том значении переменного, которому соответствует М. функции, производная ее должна быть равна нулю. Это дает возможность определять те значения <i>x</i>, при которых функция достигает М.; вставив же это значение <i>x</i> в функцию, получим величину максимального значения функции. Необходимо, однако, заметить, что если при увеличении переменного функция сначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться, то производная, переходя от отрицательного к положительному значению, тоже должна перейти через нуль, между тем как при этом функция достигает не максимального, а <i>минимального</i> значения (наименьшего сравнительно с соседними). Поэтому надо установить критериум для отличия М. от минимума. Но не трудно видеть, что, переходя от положительного значения к отрицательному, что соответствует М., производная уменьшается и, следовательно, производная производной, т. е. вторая производная, отрицательна; при переходе же от отрицательного к положительному значению, что соответствует минимуму, вторая производная вследствие возрастания первой производной положительна. Итак, если требуется найти М. функции <i>f(x),</i> то определяют соответствующие значения <i>x</i> из уравнения <i>f‘(x) </i> = 0. Вставляя эти значения в <i>f(x),</i> получим ее М., если <i>f"(x) </i> < 0 и минимумы, если <i> f"(x) </i> > 0. Подобного же рода рассуждениями руководствуются и при нахождении М. и минимумов функций многих переменных. Весьма многие задачи приводятся к нахождению М. и минимумов (см. Минимум). <i> Н. Делоне. </i> <i> </i><br><br><br>... смотреть